Cheatography
Login Register

Аннуитет, особые случаи Cheat Sheet

A Education › Mathematics cheat sheet in русский язык (Russian) by Blodwyn

Лучше смотрится в pdf! Разное кол-во платежей и начислений % в год; непрерывные %; период ренты >1 года; отложенная рента; простые %; переменная рента; вечная рента

Finance Annuity Financialmathematics Financialmath Businessmath Businessmathematics
2,264 views 391 downloads 24 Aug 2024 History
PRs
Download

Общее про аннуитет

Смотри в этой шпаргалке

Платежи и начисления %

S - наращенная стоимость
P - дискон­тир­ованная стоимость
R - аннуит­етный платеж
i - процентная ставка
n - срок ренты (лет)
p - количество аннуит­етных платежей в году
m - количество начислений % в году

Аннуитет постну­мерандо

p=1; m>1

p=1; m>1

p>1; m=1

p>1; m=1

p>1­;m>­1;m=p

p>1;m>1;m=p
В знамен­ателе должно стоять выражение (1+i/m)m/p-1, но, т.к. m=p, то скобка будет в степени 1, значит 1+i/m-­1=i/m

p>1­;m>­1;m≠p

p>1;m>1;m≠p

Аннуитет пренум­ерандо

p=1; m>1

p=1; m>1
Spost и Ppost также вычисляем по формулам для p=1; m>1

p>1;m=1

p>1;m=1
Spost и Ppost также вычисл­яются по формулам для p>1; m = 1

p>1; m>1; m=p

p>1; m>1; m=p
m=p, поэтому скобка (1+i/m)m/p превра­щается в (1+i/m)1

p>1; m>1; m≠p

p>1; m>1; m≠p

Выплаты в середине периода

Аннуитет постну­мерандо "­сдв­ига­ем" на 1/2 периода назад, домножая аннуитет постну­мерандо на доп. множитель

p=1; m=1

p=1; m=1

p=1; m>1

p=1; m>1

p>1; m=1

p>1; m=1

p>1; m>1

p>1; m>1

!

Для вычисления дискон­тир­ованной стоимости аналогично умножаем Ppost на соотве­тст­вующую скобку в зависи­мости от условий p и m

Непрер­ывное начисление %

Аннуитет постну­мерандо

Аннуитет постнумерандо

Аннуитет пренум­ерандо

Аннуитет пренумерандо

p-срочная рента

p-срочная рента

Период платежей более года

Члены ренты выплач­иваются с интерв­алами r>1 года
r - период ренты, платежи осущес­твл­яются 1 раз в несколько лет
Это похоже на p, когда платежи осущес­твл­яются несколько раз за 1 год

Сравнение r и p

продол­жит­ель­ность периода ренты
r лет
1/p лет
   
365/p дней
кол-во периодов ренты
n/r
n*p
кол-во платежей за год
1/r
p
1/r платежей за год -> платеж осущес­твл­яется 1 раз в несколько лет, значит, за один год осущес­твл­яется всего 1/r часть платежа

Наглядно

Наглядно
Для удобства примем, что n кратно r.
Т.е. n-ый год - это конец срока ренты и одновр­еменно последний год, входящий в последний период r. В момент конца n-ого года заканч­ивается и последний период r.

Аннуитет постну­мерандо

Аннуитет постнумерандо
R*r -> поскольку R - это годовой платеж, а период ренты r - несколько лет
Если по условию задачи R - платеж за период r, то R умножать на r не нужно

Аннуитет пренум­ерандо

Аннуитет пренумерандо
Spost и Ppost также рассчи­тыв­аются по соотве­тст­вующим формулам ренты с периодом ренты r

Отложенная рента

Отложенная рента
Рента, которая начинает выплач­иваться через t лет после некоторого начального периода времени

Важно

Такой сдвиг во времени:
не влияет на величину наращенной суммы -> от сдвига начала ренты сам период, в течение которого наращи­ваются %, не изменится, а просто сдвинется вперёд
влияет на величину дискон­тир­ованной суммы -> сдвиг начала ренты приведет к увеличению периода, за который дискон­тир­уется рента, на величину t (время отсрочки ренты) -> теперь мы дискон­тируем ренту за n+t лет (а не n лет)

Формула

Формула
Подходит и для аннуитета постну­мер­андо, и для аннуитета пренум­ерандо

Начисление простых %

Особен­ность ренты: % за период начисл­яются лишь на основной (инвес­тир­ова­нный) капитал, т.е. % не реинве­сти­руются.
Формулы выводятся на основе арифме­тич­еской прогрессии.

Арифме­тич­еская прогрессия

Это послед­ова­тел­ьность, в которой каждый послед­ующий член можно найти, если к предыд­ущему члену прибавить одно и то же число

Параметры прогрессии

a1 - первый член арифме­тич­еской прогрессии
an - n-ый член арифме­тич­еской прогрессии
d - число, которое послед­ова­тельно прибав­ляется к каждому послед­ующему члену прогрессии

n-ый член прогрессии

n-ый член прогрессии
К a1 еще не прибав­ляется d
d прибав­ляется к каждому из оставшихся (n-1) членов прогрессии

Сумма прогрессии

Сумма прогрессии
Сумма n первых членов арифме­тич­еской прогрессии

Наращенная сумма

Наращенная сумма
Аннуитет постну­мерандо

Дискон­тир­ованная сумма

Дисконтированная сумма
Аннуитет постну­мерандо

Банк. дискон­тир­ование

Банк. дисконтирование
Банковское дискон­тир­ование - должнику в начале срока выдается сумма, уменьш­енная на сумму процентов (т.е. сумма с дисконтом (скидкой) d), а возврату в конце срока подлежит полная сумма.

Переменная рента

Рента, при которой размеры членов ренты изменяются во времени

Случай 1

Абсолютное изменение платежей в потоке
Члены ренты образуют арифме­тич­ескую прогрессию:
R; R+a; R+2a;...; R+a*(n-1)
Каждый послед­ующий член ренты увелич­ивается на одно и то же число a

p=1; m=1

p=1; m=1

p>1; m=1

p>1; m=1
Члены ренты: R/p; (R+a)/p; (R+2a)/p; ...; (R+(np-1)a)/p.

Случай 2

Относи­тельное изменение платежей в потоке
Члены ренты образуют геомет­рич­ескую прогрессию:
R; Rq; Rq2; ...; R*qn-1
Каждый послед­ующий член ренты больше предыд­ущего в q раз

p=1; m=1

p=1; m=1

p>1; m=1

p>1; m=1
Члены ренты: R/p; (R/p)q; (R/p)q2; ...; (R/p)qnp-1

Случай 3

Разовые изменения платежей в потоке

Принцип вычисления

Наращенная и дискон­тир­ованная стоимость опреде­ляется путем прямого счета

Вечная рента

Платежи по ренте осущес­твл­яются в течение неогра­нич­енного срока (беско­нечно)
Пример: вы хотите положить на вклад в банк такую сумму, чтобы при фиксир­ованной годовой % ставке регулярно получать R руб./год в течение неогра­нич­енного срока в будущем.
Чтобы узнать, сколько первон­ачально положить в банк на вклад, используем формулу вечной ренты.

Будущая стоимость ренты

Нет смысла вычислять, т.к. платежи по ренте осущес­твл­яются в течение неогра­нич­енного срока

Настоящая стоимость

Настоящая стоимость

Поздра­вляю!

Поздравляю!
Ты дошел(-ла) до конца. Ты смелый котик.

Badges

Downloaded from Unusual Locations × 1

Comments

No comments yet.

Cheatography n. The art of mapping complex subjects into clear, instantly navigable reference guides.