Formule e teoria sulla parabola
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La parabola è una delle coniche. Fissati nel piano un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice), si chiama parabola la curva luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d
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EQUAZIONE
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y= ax2 + bx + c
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VERTICE
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V(-b/2a ; -Δ/4a)
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FUOCO
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F(-b/2a ; 1-Δ/4a)
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DIRETTRICE
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y=-(1+Δ/4a)
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ASSE DI SIMMETRIA
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x=-b/2a
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EQUAZIONE
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x= ay2 +by +c
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VERTICE
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V(-Δ/4a ; -b/2a)
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FUOCO
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F(1-Δ/4a ; -b/2a)
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DIRETTRICE
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x=-(1+Δ/4a)
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ASSE DI SIMMETRIA
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y= -b/2a
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Date y=ax2+bx+c e y=a1x2+b1x+c1, esse sono congruenti se hanno la stessa apertura
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|a|=|a1|
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Il segmento parabolico è la parte di piano compresa tra la parabola e la retta secante
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Per il teorema di Archimede, l'area del segmento parabolico è i 4/3 di quella del triangolo massimo inscritto al segmento parabolico che ha base AB
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Asp=Atm(4/3)
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Formula generale
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Asp= |a|/6 × |x0-x1|3
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La retta è esterna alla parabola quando non hanno punti in comune
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Δ < 0
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La retta e la parabola hanno due punti di intersezione distinti
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Δ>0
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La retta e la parabola hanno un punto di intersezione doppio (= due coincidenti)
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Δ=0
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Sistema di equazioni tra fascio di rette e parabola
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y-y0=m(x-x0) y=ax2+bx+c
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Equazione risolvente del sistema di equazioni tra fascio di rette e parabola
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ax2+bx+c=m(x-x0)+y0
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Se il punto è esterno alla parabola, possiamo tracciare due tangenti
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con Δ=0, abbiamo soluzioni m1 diverso da m2
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Se il punto appartiene alla parabola, possiamo tracciare una sola tangente
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con Δ=0, abbiamo una sola soluzione di m
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Se il punto è interno alla parabola, non possiamo tracciare nessuna tangente
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con Δ=0, non abbiamo alcuna soluzione
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Formula per trovare m (solo nella parabola)
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m=2ax0+b, avendo P(x0;y0)
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Formule generali (ogni curva)
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x->(x+x0)/2; y->(y+y0)/2; x2->x×x0
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Equazione
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y=ax2+bx+c + k(a1x2+b1x+c)
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Punti base
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sono i punti in comune tra tutte le parabole del fascio
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Parabole degeneri algebriche
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sono rette passanti per i punti base che si possono ottenere dall'equazione del fascio
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Parabole degeneri grafiche
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sono rette/coppie di rette parallele all'asse y passanti per i punti base. Le possiamo identificare nel grafico, ma non si possono ricavare dall'equazione
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CASO 1: due punti base e una parabola degenere algebrica (+ una coppia di rette passante per punti base -> parabola degenere grafica)
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CASO 2: un punto base doppio e una parabola degenere algebrica (+ una retta passante per il punto base -> parabola degenere grafica)
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CASO 3: nessun punto base, ma una parabola degenere algebrica
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CASO 4: nessun punto base, nessuna degenere, ma congruenti e con stesso asse di simmetria
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CASO 5: un punto base semplice, senza degenere algebrica (+ una una retta passante per il punto base -> parabola degenere grafica)
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CASO 1: la y NON dipende dal parametro
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es. y=3tx2-x+t
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CASO 2: anche la y dipende dal parametro
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es. ty=(t-1)x2+tx-2
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La normale è la retta passante per il punto di tangenza che è perpendicolare alla tangente stessa
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