Résumé du cours de maths 1B partie base d'algèbre.
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XƐ[a,b]
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a <= x <= b
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intervalle fermé
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XƐ]a,b[
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a < x < b
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intervalle ouvert
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XƐ[a,b[
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a <= x < b
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intervalle ouvert à droite
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-5 < 6 | + 2
-3 < 8
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Le signe de l'inégalité n'est pas changé.
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-5 < 6 | * 2
10 > -12
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Si on multiplie par un nombre négatif on inverse le sens de l'inégalite
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-5 < 6 | ^2
25 < 36
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-6 < 5 | ^2
36 > 25
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Il y a inversion de signe si l'inégalité de départ est fausse en valeur absolue.
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36 > 25 | √
6 > 5
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Le signe de l'inégalité n'est pas changé. On prend seulement les nombres positifs.
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5 < 6 | 1/
1/5 > 1/6
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-5 < 6 | 1/
-1/5 < 1/6
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Le signe de l'inégalité est changé quand les 2 membres sont de mêmes signes.
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| a + b |
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si a + b > 0
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a + b
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| a + b |
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si a + b = 0
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0
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| a + b |
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si a + b < 0
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- (a + b) -> -a -b
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(a - b)2
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a2 - 2ab + b2
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(a - b)2
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a3 -3a2b + 3ab2 - b3
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a2-b2
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(a + b) (a - b)
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a3 - b3
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(a - b) (a2 + ab + b2)
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Pour n impair :
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an + bn
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(a + b) (...)
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an + bn
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(a - b) (...)
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Pour n pair :
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an + bn
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Ne peut être factorisé
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an - bn
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(a + b) (a - b) (...)
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(...)
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S'obtient par division polynomiale
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Mise en évidence :
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a2 + 2a
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a(2 + a)
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Reconnaissance d'identité remarquable :
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x2 - 9
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(x + 3) (x - 3)
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Regroupement :
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aX2 + bX + c
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a( X2 + bX/a + c/a)
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a( X2 + 2bX/2a + c/a)
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a ((X + b/2a)2-b2/4a2+c/a)
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a((X+ b/2a)2 - (b2+4ac)/4a
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x1 = (-b + √b2 - 4ac )/ 2a
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x2 = (-b - √b2 - 4ac )/ 2a
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f1(x) = x2
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Donne une fonction de type U
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f2(x) = (x - q)2
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Donne une fonction de type U avec un décalage q (en x)
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f3(x) = p(x-q)2
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Plus p est grand plus la fonction est serré Si p est négatif la fonction part contre le bas.
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f4(x) = p (x-q)2 + r
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Ajouter r décale la fonciton verticalement (axe y)
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y = a ( x - b)2+ o
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Le point S est (b; o)
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S est un maximum si a < 0
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S est un minimum si a > 0
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Les racines sont les intersections de la fonction avec l'axe x
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x1 = 0 & x2 = 0
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p(x-q)2 + r = 0
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x-q = +ou- √-r/p
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x1 = √(-r/p) + q
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x2 = -√(-r/p) + q
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Pour trouver une racine il faut la forme canonique:
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f(x) = ax2 + bx + c
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a[x2+2(b/2a)*x+(b/2a)2-(b/2a)2+c/a]
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a(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a
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On veut p(x - q)2 + r
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r = - (b2-4ac)/4a
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q = -b/2a
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p = a
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On a donc : a (x - (-b/2a))2 + ((b2-4ac)/4a)
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p(x) = a(X - X1) (X - X2)
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a(X2-X X1 - X X2 + X1 * X2)
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aX2 - a(X1 + X2) X + a X1 X2
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On retrouve une équation du second degré.
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X1 et X2 sont les racines du polynôme :
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P(X1) = a( X1 - X1) ( X1 - X2) = 0
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On sait que X1 - X1 = 0
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P(X2) = a( X2 - X1) ( X2 - X2) = 0
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On sait que X2 - X2 = 0
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Il est facile et toujours possible de passer de la forme factorisé à la forme polynômiale.
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S'il n'y a pas de racines réeles (intersection avec l'axe x) on ne pourra pas mettre le polynôme sous forme factorisé c'est donc un pôlynome irréductible!
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Pour passer de la forme factorisée à la forme pôlynomiale on procède comme une fonction de degré 2
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Pour l'opération inverse il faut utiliser le Théorème Fondamental de l'algébre.
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Tout polynôme Pn(x) de degré n peut s'écrire comme le produit de k polynômes du premier degré et m polynômes irréductibles du seconde degré.
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k correspond au nombre de racines réelles de Pn(x)
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n = k + 2m
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m = (n - k)/2
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f(x) = N(x) / D(x)
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Si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur on effectue une division polynômiale et on pourra factoriser le reste.
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E1. Si nécessaire effectuer la division euclidienne et prendre uniquement le reste pour les prochaines étapes :
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E2. Factoriser Dn(x) en produit soit de facteur linéaires (px + q)n soit/et en facteurs quadratiques irréductibles (ax2 + bx + c)m
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E3. Pour chaque facteur (px + q)n écrire la somme de fractions : A1/(px+q) + A2/(px+q)2 + An/(px+q)n
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E4. Pour chaque facteur (ax2 +bx +c)m écrire la somme de fractions simples : ((B1*x + c1)/(ax2+bx+c)) + ((B2x + c2)/(ax2+bx+c)2)+((Bmx + cm)/(ax2+bx+c)m)
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E5. Calculer les constantes Ai, Bi, Cien posant que la fraction rationnelle Nk(x) / Dn(x) doit être IDENTIQUE à sa décomposition en fractions simples.
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